L’analisi dinamica dello sviluppo territoriale tramite la stocastica

Esaminando genericamente il processo di sviluppo di un determinato territorio, appare chiaro che un modo altamente efficace di agire può essere quello di modellizzare la dinamica di tale sistema  come processo stocastico.

Un processo stocastico è utilizzato per descrivere, nella dinamica di sistemi complessi, lo sviluppo aleatorio di tale sistema in esame. Questo avviene utilizzando come modello il moto browniano in cui gli elementi in esame vengono trattati come particelle di un sistema inizialmente isolato. Inizialmente isolato perchè poi nell’esposizione di tale teoria verranno introdotte piccole variazioni ai parametri che determinano lo sviluppo dinamico del sistema in esame. Queste piccole variazioni illustrano appunto la variazione dell’ambiente esterno con cui interagisce il nostro sistema che non sarà per questo considerato isolato. Tale modello quindi si basa quindi sullo sviluppo aleatorio dei parametri che descrivono la dinamica del sistema grazie alla presenza di campi di forze deterministici che governano le proprietà medie del moto. Il risultato è un modello che descrive efficacemente la dinamica di moltissimi sistemi complessi fra cui lo sviluppo di un territorio nei suoi vari ambiti, da quello sociale a quello economico o infrastrutturale.

Modelli macroscopici di traffico veicolare [Seconda parte]

Nel 1960 un modello alternativo, basato sulla cinetica dei gas, fu proposto da Prigogine. In questo modello venne studiata l’evoluzione temporale della distribuzione di velocità, sottolineando l’importanza degli effetti di collisione, principali responsabili della diminuzione della velocità media e di quelli di aggiustamento, che coinvolgono la riduzione della dispersione della distribuzione di velocità.
Questo lavoro, noto come modello di traffico Boltzmann-like, fu ampliato nel 1979 da Phillips che, introdusse una variabile chiamata pressione di traffico (), ottenendo così l’equazione della velocità

dove vi è una dipendenza del tempo di rilassamento dalla densità ().
Whitham poi, nel 1974, generalizzò la teoria LWR (alla quale aveva dato il suo contributo in precedenza), tramite l’utilizzo del modello di Phillips, del quale però non menzionò alcuni problemi, come il decremento della pressione di traffico.
Nel 1984 K\”{u}hne aggiunse poi un termine di viscosità () alla precedente equazione, che ebbe un effetto simile a quello di diffusione nell’equazione di Burgers. Dopo circa dieci anni, nel 1993, Kerner e Konh\”{a}user modificò il termine di viscosità in ottenendo così l’equazione della velocità

Nel 1995 Weidlich ed Hilliges presentarono un modello di tipo discreto, simile a quello avanzato 1994 da Daganzo. Questo modello è basato sulla divisione della strada in celle j di eguale lunghezza . I guidatori dei veicoli presenti in una determinata cella j adatteranno la propria velocità valutando quella della cella successiva (j+1). Ciò portò all’aggiunta di una costante didiffusione alla relazione lineare fra velocità e densità, equivalentemente a quanto era stato prima discusso circa l’equazione di Burgers. Si giunse così a

che prese appunto il nome di equazione dinamica della velocità di Weidlich-Hilliges.
I modelli citati in questa introduzione sono fra loro strettamente correlati , infatti possono essere considerati come casi particolari della più generale equazione di densità

e della equazione della velocità

La differenza fra le varie equazioni sta nella dichiarazione (chiaramente alcuni parametri potrebbero essere posti uguali a zero) del coefficiente di diffusione D(), delle fluttuazioni , della pressione di traffico P(), della viscosità , del tempo di rilassamento e della velocità di equilibrio .
Quindi tutte le equazioni che trattano modelli macroscopici di traffico veicolare possono essere ricavate opportunamente dalle due precedenti.

“La verità è sempre rivoluzionaria” A.Gramsci

Ce ne sarebbe abbastanza per scrivere numerosi libri. Trent’anni sono trascorsi da quel 2 agosto del 1980 in cui quella valigia ripiena di 23 kg fra tritolo, T4 e nitroglicerina ad uso civile esplose nella sala d’aspetto di seconda classe della stazione centrale di Bologna, spazzando via ottantacinque vite e provocando oltre duecento mutilazioni. L’orologio della stazione si bloccò all’ora dello scoppio, le 10.25. Ve ne sarebbe abbastanza appunto da scrivere libri sull’andamento dei procedimenti giudiziari che si susseguirono in questi trent’anni e soprattutto sui comprovati tentativi di depistaggio da parte di cariche istituzionali di primo piano, del SISMI e di associazioni massoniche fra cui la celebre P2. Questo poche righe però di certo non vogliono essere un tentativo di riassumere questi avvenimenti. Sarebbe terribilmente offensivo per quegli 85 nomi di persone che non hanno più vissuto e per le lacrime versate e le battaglie senza sosta intraprese dai loro famigliari; vogliono essere un modo di ricordare in prima persona e spingere a mantenere sempre viva la memoria di tutte le stragi che il nostro Paese ha dovuto sopportare durante quel periodo passato alla storia come della “strategia della tensione”.  Per far ciò il modo migliore mi sembra non riportare le parole pur giustificabili dei politici dell’opposizione che hanno criticato la mancanza di esponenti del governo alla commemorazione bolognese di questa mattina preoccupati di ricevere dei fischi, ma quelle di Paolo Bolognesi, presidente dell’  “Associazione tre i famigliari delle vittime della strage alla stazione di Bologna del 2 agosto 1980″, a nome dell’associazione tutta, composta da chi per primo sa che ha significato quel 2 agosto.

” 30 anni fa, alle 10,25, chi collocò in questa stazione una bomba voleva un massacro e lo ottenne.
Le scene strazianti che si presentarono ai soccorritori sono ancora oggi negli occhi e nel cuore di ciascuno di noi: corpi martoriati, grida di aiuto, polvere, sangue, calcinacci e, su tutto, l’odore acre della polvere da sparo, mentre già c’era chi si adoperava per accreditare l’ipotesi dello scoppio accidentale di una caldaia.
Ancora una strage, ancora persone innocenti massacrate.
Ancora a Bologna, nuovamente colpita, ma pronta a rialzarsi.
Non dimenticheremo mai la solidarietà ricevuta quel 2 agosto 1980, il contributo di tanti cittadini che, al di là delle loro convinzioni politiche, ci hanno dato e ci danno ancora un appoggio concreto e morale straordinario.
Una scena tra tutte è emblematica della reazione della nostra città: l’autobus 37, trasformato in camera mortuaria per lasciare le ambulanze ai feriti, in servizio permanente grazie al senso civico del suo autista; il quale,nonostante da tempo fosse  finito il suo turno, ai colleghi che gli offrivano un cambio, con gli occhi lucidi, ma voce ferma rispondeva: “Vado avanti”.
La volontà di andare avanti, di reagire alla sfida terroristica, ha portato noi familiari delle vittime a non arrenderci, chiedendo da subito verità e giustizia; ha portato la cittadinanza a stringersi intorno a noi, reagendo contro ogni volontà di imporre il disimpegno e la rassegnazione; ha portato la parte sana dello Stato, forze dell’ordine e magistrati onesti, a cercare di smascherare chi aveva voluto, pianificato ed eseguito quella strage.
Grazie a loro, grazie a chi non si è arreso ai molteplici e costanti tentativi di inquinamento e di intossicazione delle indagini e dei processi, oggi, per la giustizia e per la storia, l’attentato del 2 agosto ha precise responsabilità che non ci stanchiamo di ripetere.
Ad eseguire materialmente la strage sono stati i neofascisti dei NAR Valerio Fioravanti, Francesca Mambro e Luigi Ciavardini.
A depistare le indagini sono stati Licio Gelli, Gran Maestro della Loggia Massonica P2, il faccendiere Francesco Pazienza, gli appartenenti al SISMI generale Musumeci e colonnello Belmonte, uomini ai vertici del servizio segreto militare entrambi iscritti alla Loggia Massonica P2.
Nel manifesto di quest’anno abbiamo scritto:
30 anni
di veleni contro le tante verità accertate
di premi per gli assassini
di mandanti ancora senza volto
di  segreti di Stato.

Non lo scoppio di una caldaia, non terroristi internazionali maldestri che, senza volere, hanno dimenticato una bomba alla stazione, non i libici, non i palestinesi, ma neofascisti, servizi segreti, Banda della Magliana e Loggia Massonica P2, tutti assolutamente interessati ed alleati per impedire l’accertamento della verità.Questo oggi è un dato sia storico che giudiziario, è un dato che i mandanti e gli ispiratori politici della strage alla stazione, che su quell’attentato hanno costruito e rafforzato le proprie posizioni di potere, non si possono permettere che venga divulgato.Assicurare l’impunità agli autori di quell’orrendo crimine è un obbligo per chi ha armato la loro mano: libertà in cambio di omertà, in questo modo si spiegano gli incredibili benefici concessi a Mambro, Fioravanti e Ciavardini, che denunciamo da anni:

Ciavardini, condannato nel 2007 a scontare 30 anni per strage, è uscito dal carcere 1 anno fà, dopo solo 2 anni di detenzione.Valerio Fioravanti e Francesca Mambro, condannati complessivamente a14 ergastoli per strage e 12 omicidi, e a più di 200 anni di carcere per reati minori come occultamento di cadavere e rapina, hanno scontato in carcere 2 mesi per ogni morte causata.Delle loro vittime i giornali non parlano mai, né pubblicano le loro foto, come se si cercasse di farle dimenticare, perché il loro ricordo contrasta con la nuova immagine di questi due vigliacchi assassini, in vista di una loro futura carriera politica. Ma noi non le dimentichiamo, sono:
–         Roberto Scialabba, 19 anni, ucciso perché aveva i capelli lunghi e l’aspetto di un comunista;

–         Antonio Leandri, 24 anni, ucciso per uno scambio di persona;

–         Maurizio Arnesano, 19 anni, soldato di leva ucciso per impadronirsi del suo fucile;

–         Marco Pizzari, 18 anni, e Giuseppe De Luca, uccisi perché ritenuti traditori e testimoni pericolosi;

–         Franco Evangelista, Enea Codotto, Luigi Maronese, Francesco Straullu e Ciriaco Di Roma, uomini delle forze dell’ordine uccisi perché ostacolavano l’attività criminale dei NAR;

–         Francesco Mangiameli, ucciso perché poteva incastrare Mambro e Fioravanti per la strage di Bologna;

–         Alessandro Caravillani, 17 anni, ucciso con un colpo alla tempia durante una rapina.

E soprattutto, non dimentichiamo il magistrato Mario Amato, al cui ricordo siamo legati da profondo affetto e gratitudine. Da solo, a Roma, svolgeva le indagini sul terrorismo nero con rigore e serietà e per questo fu ucciso. Si era accorto che l’estrema destra era in fermento, si preparava a qualcosa di grosso, probabilmente un attentato di dimensioni senza precedenti e, dopo aver denunciato durante un’audizione di fronte al Consiglio Superiore della Magistratura, il suo isolamento all’interno della Procura di Roma e la pericolosità dinamitarda dei NAR, 10 giorni dopo fu ucciso. Era il 23 giugno 1980,  40 giorni prima della strage alla stazione.
Oggi, a 30 anni di distanza, vogliamo sottolineare un fatto importante  che ricorda gli ambienti in cui si era imbattuto Mario Amato durante le sue indagini sul neofascismo e sui suoi legami col sottobosco finanziario, economico e col potere politico. Nell’ambito di un’inchiesta su un maxiriciclaggio, è stato arrestato l’estremista di destra Gennaro Mokbel, indicato come responsabile del riciclaggio di ingentissimi capitali illegali e legato alla ‘ndrangheta e alla Banda della Magliana, con infiltrazioni nella Massoneria e nelle forze dell’ordine, talmente influente da chiamare “schiavo” un Senatore della Repubblica e trattarlo come tale e da disporre di milioni di euro in diamanti e opere d’arte. Decine e decine sono le telefonate intercettate,come riferito dalla stampa, tra Mokbel, sua moglie e Mambro e Fioravanti, che emergono come veri e propri consulenti politici.
Non sappiamo se l’intercettazione in cui Mokbel dichiara di aver dovuto versare un milione e 200.000 euro per liberare Mambro e Fioravanti corrisponda al vero.
Sappiamo però che ancora oggi aspettiamo di conoscere le basi sulle quali è stata concessa la liberazione condizionale a Mambro e Fioravanti in spregio ai presupposti giuridici previsti per ogni normale cittadino.
Abbiamo appreso, con sconcerto, la disinvoltura e la noncuranza dell’etica politica, con cui il candidato Radicale del Centro –Sinistra, alle recenti elezioni regionali del Lazio: Emma Bonino, abbia avuto nel suo comitato elettorale, come consulenti proprio i due terroristi fascisti Mambro e Fioravanti mandanti dell’assassinio del giudice Amato ed esecutori materiali della strage alla stazione.
10 anni fà da questo stesso palco avevamo detto:  in un Paese in cui due stragisti condannati per 97 omicidi sono incredibilmente liberi e sono dirigenti di un partito politico, può davvero succedere di tutto.
Volgendo lo sguardo ai 30 anni passati dobbiamo dire che tanti sono stati i depistaggi e le coperture che sono state messe in atto per far perdere tempo ai giudici e per annullare i risultati processuali faticosamente raggiunti.
Oggi l’Associazione e’ convinta che anche la pista internazionale messa a disposizione dalla commissione Mitrokin subirà lo stesso misero esito delle precedenti piste. A questo punto sarà necessario che la Procura di Bologna riprenda le indagini sui mandanti per colpirli come meritano.
L’Associazione e’ vigile, tante verità nascoste in passato stanno emergendo sulla base di nuove indagini e nuovi processi ad esempio a Brescia. Il nostro impegno e il nostro contributo verranno  forniti nei prossimi mesi ai magistrati di Bologna.
In questo Paese esiste un grumo cancerogeno che ha attraversato 30 anni di storia italiana facendo stragi, uccidendo magistrati e politici scomodi, autotutelandosi presso le istituzioni e utilizzando anche una strana connivenza con certa stampa, secondo un perfetto disegno piduista. Questo grumo accomuna eversione nera, massoneria, settori deviati dello Stato e Banda della Magliana. Ed il recente arresto di Flavio Carboni, inquietante crocevia di questa espressione criminale, dimostra l’attualità di quelle alleanze.
Questo grumo in passato è stato funzionale ad un micidiale progetto politico studiato molti anni addietro, addirittura negli anni sessanta come dimostrato dagli atti del convegno dell’Istituto Pollio su “LA GUERRA RIVOLUZIONARIA”.
Progetto che poneva la gestione degli effetti di criminali e devastanti attentati come utile strumento di lotta politica, come metodo di condizionamento della dinamica della vita democratica del Paese.
Poi lo svuotamento dall’interno dei principi alla base della nostra costituzione con il progetto eversivo della Loggia Massonica P2 denominato “PIANO DI RINASCITA DEMOCRATICA”.
Oggi dobbiamo constatare che quel progetto politico è stato in gran parte attuato rendendo sempre più difficile la vita democratica del nostro Paese.
Questa non è una storia da relegare nelle pagine interne dei quotidiani: questa è la storia del Paese. Quella che non si vuole raccontare, perché i cittadini non devono sapere.
Nonostante il silenzio assordante  del ceto politico e l’indifferenza dei mass-media, riceviamo ogni giorno lettere di solidarietà e attestati di stima da cittadini indignati, che ci spronano a continuare a gridare ad alta voce lo scandalo di questi due stragisti e pluriomicidi, che hanno scontato condanne pagate a prezzi di saldo: non esiste detenuto in Italia che abbia goduto di maggiori benefici.
Non ci muove l’odio, ma il senso di dignità, perché senza esigenza di memoria e pretesa di giustizia non vi è vita collettiva che abbia un senso e un valore.
C’è oggi una gran voglia di normalizzare a forza questo Paese, di farci abituare al peggio.
Ci sentiamo confortati dalle parole del Capo dello Stato che, l’8 maggio, nel corso della cerimonia per il giorno della memoria delle vittime del terrorismo e delle stragi di tale matrice, ha voluto sottolineare, ricordando  i rischi estremi che il nostro Paese corse nel 1980 e come seppe uscirne:
“ …avemmo così la prova di quanto profonde fossero tra gli italiani le riserve di attaccamento alla libertà, alla legalità, ai principi costituzionali della convivenza democratica su cui poter contare.”
Parole che  sembrano di estrema attualità visti i pericoli che corre la nostra vita democratica.
La nostra Associazione, da sempre, si batte affinché l’informazione sui fatti tragici del nostro Paese venga portata alla conoscenza di tutti: per questo abbiamo pubblicato nel nostro sito tutti gli atti dei processi sulla strage alla stazione; partecipiamo attivamente alla Rete degli Archivi per non dimenticare affinché nessun atto giudiziario, legato alla storia del nostro Paese, vada disperso e possa essere fonte di studi e ricerche.
E’ con grande contrarietà  che assistiamo al tentativo di limitare per legge l’uso delle intercettazioni; questo creerebbe un grave danno alle indagini e alla possibilità di nuovi sviluppi sulla conoscenza di fatti riguardanti le stragi che hanno insanguinato il nostro Paese. L’informazione è importante soprattutto per i giovani e per dare a tutti la possibilità della conoscenza dei fatti, di essere consapevoli, in modo che nessuno possa più farsi scudo del non sapere e dell’ignoranza altrui. Perché gli assassini, così come i mandanti della strage alla stazione,  si affidano all’indifferenza della gente e su di essa costruiscono la propria impunità.
Dopo 6 anni dobbiamo constatare che la legge 206/2004 non è’ ancora in gran parte applicata, dalla sua approvazione ad oggi sono stati approvati dal Parlamento 3 ordini del giorno che impegnavano il Governo in carica ad attuarla completamente senza nessun risultato. All’inizio di questa legislatura abbiamo avuto le assicurazioni e le promesse del Presidente del Consiglio Silvio Berlusconi, del Sottosegretario Gianni Letta, del Ministro della Giustizia Angelino Alfano, del Ministro dell’Interno Maroni , ma nulla e’ stato fatto, la legge è ancora in gran parte inattuata, la delusione dei familiari delle vittime è grande. Questo dà la misura della mancata doverosa attenzione, nei confronti delle vittime, dei Governi che si sono succeduti dal 2004.
L’assenza del Governo ,oggi , ne è la conferma.
L’ONU-UNESCO PER LA PROMOZIONE DI UNA CULTURA DI PACE ha inserito il memoriale della strage del 2 agosto alla stazione di Bologna, nell’ambito del programma “Patrimoni per una cultura della Pace”.
Questo riconoscimento ci riempie di orgoglio e sarà un ulteriore impegno per mantenere la memoria negli anni futuri compiendo nel contempo azioni in favore della Pace.
Noi, 30 anni fa in questo piazzale abbiamo perso gli affetti più cari, un pezzo della nostra vita. Per onorare la loro memoria abbiamo scelto la strada della ricerca della verità e della giustizia, l’unico modo per vincere con le armi della democrazia i disegni criminali.
In questi anni abbiamo cercato di far esaltare l’orgoglio di appartenere ad una associazione che ha come impegno primario ottenere giustizia e verità, abbiamo soffocato la commozione che ci deriva dall’enorme tragedia che ha colpito ognuno di noi. Abbiamo guardato avanti e tanti sono i risultati che in questi anni si sono ottenuti, specialmente sui diritti delle vittime nonostante  che i vari governi, con ripetute promesse e assicurazioni, non operino per applicare completamente le leggi pur approvate dal Parlamento.
E’ consapevolezza, ormai di tutti i cittadini, che l’ostacolo principale alla verità, allo smascheramento dei mandanti, è l’apposizione anche in modo non ufficiale del segreto di Stato in tutti i processi di terrorismo e stragi.
Per questo ribadiamo con forza che, passati 30 anni dall’evento, tutti i documenti ad esso relativi ed i nominativi in esso contenuti, in possesso dei Servizi Segreti, della polizia e dei carabinieri, vengano catalogati e resi pubblici senza distinguere tra documenti d’archivio e quelli d’archivio corrente. L’ipotesi di reiterare il segreto di Stato dopo 30 anni è una vergogna, sembra fatta non per tutelare la sicurezza dello Stato ma per rendere impossibile colpire i mandanti e gli ispiratori politici.
A chi ha tentato di piegarci abbiamo contrapposto la fermezza di chi non si fa comprare, e continuiamo con ostinazione, a portare avanti le nostre battaglie.
Nel rivendicare i nostri diritti abbiamo evitato di sentirci o farci sentire vittime, ci siamo sempre comportati come cittadini che chiedono cose a loro dovute.
La nostra è stata ed è una lunga battaglia: contro il tempo che passa; contro i silenzi e le menzogne; contro i tentativi di delegittimazione ancora in corso; contro chi pensa di difendere i carnefici e non le vittime; contro chi vuole farci dimenticare, abbassare la testa;a questo proposito quest’anno abbiamo assistito ad un triste tentativo di immiserire la manifestazione che è in corso ora, quasi che molti politici si fossero stancati dei cittadini che scendono in piazza per ricordare e pretendere giustizia. Questa manifestazione, la solidarietà e la partecipazione dei cittadini che ogni 2 agosto vogliono farci sentire la loro vicinanza non è un elemento di disturbo da eliminare, ma è il segno di una società civile vitale, che non è disposta a farsi zittire da chi vorrebbe avere a che fare con sudditi e non con cittadini dotati di senso critico e di volontà di partecipazione alla vita democratica.
La stima che abbiamo ottenuto dai cittadini è stata grande e ci auguriamo di poterla mantenere anche per i prossimi anni. ”

Il discorso si è concluso con

” QUESTA PIAZZA E’ ANCORA OGGI,COME TRENTA ANNI FA, SOLIDARIETA’ E DEMOCRAZIA.”

Ecco, credo che il modo migliore per ricordare ciò che è accaduto sia proprio quello di aver letto tali parole pronunciate oggi davanti alla Stazione di Bologna, perchè, ricodiamo che un Paese che si arrende e getta la spugna è un Paese perdente, senza dignità, morto. Ed è per questo che dobbiamo avere sete di verità, di giustizia, come se trent’anni non fossero trascorsi.

Modelli macroscopici di traffico veicolare [Prima parte]

L’interesse per problemi di flusso di traffico nacque nel XX secolo e la prima

pubblicazione in questo campo si ebbe nel 1935 ad opera di Greenshields. Negli

anni cinquanta vi fu un grande sviluppo nello studio del traffico veicolare,

sottolineato da importanti pubblicazioni, che si basavano tutte sulla relazione

fra dinamica del flusso di traffico e modelli matematici capaci di descriverlo

tramite parametri fondamentali, fra cui il principale era sicuramente la

densità dei veicoli. La principale pubblicazione di questi anni fu quella di

Lighthill e Whitham che uscì nel 1955 in cui il problema del  flusso di

traffico, prima lungo strade rettilinee senza incroci, poi con incroci

controllati da semafori, veniva analizzato mediante onde cinematiche

\cite{uno}.

Nel\-l’an\-no seguente anche Richard pubblicò un lavoro

su questo problema, portando così alla nascita la teoria LWR (dai nomi dei tre

ricercatori), basata sulla considerazione che i veicoli all’interno del flusso

di traffico possono essere trattati come particelle in un fluido e quindi,

studiati mediante l’u\-so dei modelli dell’i\-dro\-di\-na\-mi\-ca, in cui si

usano equazioni differenziali iperboliche alle derivate parziali. L’equazione

d’onda non-lineare introdotta da Lighthill e Whitham che meglio descrive la

propagazione di onde cinematiche con velocità C($\rho$) è

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+C(\rho)\frac{\partial

\rho}{\partial x}=0$

Il modello LWR è alla base dell’elaborazione della teoria delle onde di

\emph{shock} ma, lo sviluppo di questa, è difficile da indagare tramite la

risoluzione numerica del LWR. Per seguire lo sviluppo della teoria delle onde

d’urto si è dovuto inserire un termine di diffusione ($\frac{\partial}{\partial

x}(D\frac{\partial \rho}{\partial x})$) all’equazione introdotta da Lighthill e

Whitham, ottenendo, tramite alcune considerazioni analitiche

$\frac{\partial C(x,t)}{\partial t}+C(x,t)\frac{\partial

C(x,t)}{\partial x}=D\frac{\partial^{2} C(x,t)}{\partial x^{2}}$

detta \emph{equazione di Burgers}. \

Payne nel 1971 introdusse un termine di convezione ed un nuovo coefficiente di

diffusione $D(\rho)$, non costante come per Burgers, ma dipendente dalla

densità. Ciò portò all’aggiunta, all’equazione precedentemente presentata come

di Burgers, di un termine di convezione ($V\frac{\partial V}{\partial x}$), di

uno di anticipazione ($-\frac{D(\rho)}{\rho \Delta t}\frac{\partial

\rho}{\partial x}$), che riflette la risposta dei guidatori alla situazione del

traffico davanti a loro e di uno di rilassamento ($\frac{V_{e}(\rho)-V}{\Delta

t}$), che descrive l’adattamento (di tipo esponenziale con tempo di

rilassamento $\Delta t$) della velocità media $V(x,t)$ alla velocità di

equilibrio dipendente dalla densità $V_{e}(\rho)$. L’equazione della velocità

così ottenuta

$\frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{1}{\Delta

t}[V_{e}(\rho)-\frac{D(\rho)}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial

x}-V]$

prende il nome di \emph{equazione di Payne}. \Nel 1960 un modello alternativo,

basato sulla cinetica dei gas, fu proposto da Prigogine \cite{due}. In questo

modello venne studiata l’evoluzione temporale della distribuzione di velocità,

sottolineando l’importanza degli effetti di \emph{collisione}, principali

responsabili della diminuzione della velocità media e di quelli di

\emph{aggiustamento}, che coinvolgono la riduzione della dispersione della

distribuzione di velocità. \Questo lavoro, noto come modello di traffico

\emph{Boltzmann-like}, fu ampliato nel 1979 da Phillips che, introdusse una

variabile chiamata \emph{pressione di traffico} ($P(x,t)$), ottenendo così

l’equazione della velocità

$\frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial x}=

-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{1}{\tau(\rho)}[V_{e}(\rho)-V]$

dove vi è una dipendenza del tempo di rilassamento dalla densità

($\tau(\rho)$). \

Whitham poi, nel 1974, generalizzò la teoria LWR (alla quale aveva dato il suo

contributo in precedenza), tramite l’utilizzo del modello di Phillips, del

quale però non menzionò alcuni problemi, come il decremento della pressione di

traffico.

\

Nel 1984 K\”{u}hne aggiunse poi un termine di \emph{viscosità}

($\nu\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}$) alla precedente equazione, che ebbe

un effetto simile a quello di diffusione nell’equazione di Burgers. Dopo circa

dieci anni, nel 1993, Kerner e Konh\”{a}user modificò il termine di viscosità

in $\frac{\eta}{\rho}\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}$ ottenendo così

l’equazione della velocità

$\frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial x}=

-\frac{\theta_{0}}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial

x}+\frac{\eta}{\rho}\frac{\partial^{2}V}{\partial

x^{2}}+\frac{V_{e}(\rho)-V}{\tau}$

Nel 1995 Weidlich ed Hilliges presentarono un modello di tipo discreto, simile

a quello avanzato 1994 da Daganzo. Questo modello è basato sulla divisione

della strada in celle \emph{j} di eguale lunghezza $\Delta x$. I guidatori dei

veicoli presenti in una determinata cella \emph{j} adatteranno la propria

velocità valutando quella della cella successiva \emph{(j+1)}. Ciò portò

all’aggiunta di una costante di \emph{diffusione} $D=\frac{V_{0}\Delta x}{2}$

alla relazione lineare fra velocità e densità, equivalentemente a quanto era

stato prima discusso circa l’equazione di Burgers. Si giunse così a

$\frac{\partial \hat{V}(j,t)}{\partial t}+\hat{V}(j,t)\frac{\hat{V}(j+1,t)-\hat{V}(j-1,t)}{2\Delta

x}=\frac{V_{e}(\hat{\rho}(j,t))-\hat{V}(j,t)}{\tau}$

che prese appunto il nome di equazione dinamica della velocità di

\emph{Weidlich-Hilliges}.

\I modelli citati in questa introduzione sono fra loro

strettamente correlati \cite{tre}, infatti possono essere

considerati come casi particolari della più generale

\emph{equazione di densità}

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+V\frac{\partial \rho}{\partial

x}=-\rho\frac{\partial V}{\partial x}+D(\rho)\frac{\partial^{2}

\rho}{\partial x^{2}}+\xi_{1}(x,t)$

e della \emph{equazione della velocità}

$\frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial

x}=-\frac{1}{\rho}\frac{dP}{d\rho}\frac{\partial \rho}{\partial

x}+\nu\frac{\partial^{2}V}{\partial

x^{2}}+\frac{1}{\tau}(V_{e}-V)+\xi_{2}(x,t).$

La differenza fra le varie equazioni sta nella dichiarazione

(chiaramente alcuni parametri potrebbero essere posti uguali a

zero) del coefficiente di diffusione D($\rho$), delle fluttuazioni

$\xi_{1}(x,t),\xi_{2}(x,t)$, della pressione di traffico

P($\rho$), della viscosità $\nu(\rho)$, del tempo di rilassamento

$\tau(\rho)$ e della velocità di equilibrio $V_{e}(\rho)$.

\Quindi tutte le equazioni che trattano modelli macroscopici di traffico

veicolare possono essere ricavate opportunamente dalle due

precedenti.

L’interesse per problemi di flusso di traffico nacque nel XX secolo e la prima pubblicazione in questo campo si ebbe nel 1935 ad opera di Greenshields. Negli anni cinquanta vi fu un grande sviluppo nello studio del traffico veicolare, sottolineato da importanti pubblicazioni, che si basavano tutte sulla relazione fra dinamica del flusso di traffico e modelli matematici capaci di descriverlo tramite parametri fondamentali, fra cui il principale era sicuramente la densità dei veicoli. La principale pubblicazione di questi anni fu quella di Lighthill e Whitham che uscì nel 1955 in cui il problema del  flusso di traffico, prima lungo strade rettilinee senza incroci, poi con incroci controllati da semafori, veniva analizzato mediante onde cinematiche .

Nell’anno seguente anche Richard pubblicò un lavoro su questo problema, portando così alla nascita la teoria LWR (dai nomi dei tre ricercatori), basata sulla considerazione che i veicoli all’interno del flusso di traffico possono essere trattati come particelle in un fluido e quindi, studiati mediante l’uso dei modelli dell’idrodinamica, in cui si usano equazioni differenziali iperboliche alle derivate parziali. L’equazione d’onda non-lineare introdotta da Lighthill e Whitham che meglio descrive la propagazione di onde cinematiche con velocità  è

Il modello LWR è alla base dell’elaborazione della teoria delle onde di shock ma, lo sviluppo di questa, è difficile da indagare tramite la risoluzione numerica del LWR. Per seguire lo sviluppo della teoria delle onde d’urto si è dovuto inserire un termine di diffusione (  ) all’equazione introdotta da Lighthill e Whitham, ottenendo, tramite alcune considerazioni analitiche

detta equazione di Burgers.

Payne nel 1971 introdusse un termine di convezione ed un nuovo coefficiente di diffusione  , non costante come per Burgers, ma dipendente dalla densità. Ciò portò all’aggiunta, all’equazione precedentemente presentata come di Burgers, di un termine di convezione (  ), di uno di anticipazione (  ), che riflette la risposta dei guidatori alla situazione del traffico davanti a loro e di uno di rilassamento () , che descrive l’adattamento (di tipo esponenziale con tempo di rilassamento  ) della velocità media  alla velocità di equilibrio dipendente dalla densità  . L’equazione della velocità così ottenuta

prende il nome di equazione di Payne.

Giornata della Memoria

Poco più di sessant’anni sono passati dai giorni in cui nel nostro continente l’uomo stava compiendo il crimine più grave mai tentato. Ecco, alla luce del ricordo di quegli anni, di tutti gli esseri umani privati sia di vita che di dignità fu istituita la Giornata della Memoria nella data del 27 gennaio. Perchè tale data simbolica mantenga viva nelle coscienze di noi tutti e soprattutto in quelle delle nuove generazioni il rispetto massimo per i valori di libertà, giustizia, pace e democrazia tale giornata assume un significato oggi importantissimo. Il valore della memoria è fondamentale per combattere ogni forma di inosservanza del rispetto della dignità umana. Posto di seguito, a tal proposito, la lettera pubblicata dall’Associazione Nazionale Partigiani d’Italia, perchè le parole scritte da chi visse quei giorni in prima linea restino ancora di più scolpite nelle coscienze di noi tutti come un dovere irrinunciabile.

“Il 27 gennaio verrà celebrata la Giornata della Memoria, nella quale il Paese intero ricorderà le vittime dell’Olocausto, delle leggi razziali, delle deportazioni; lo sterminio dei rom e degli omosessuali; tutti coloro che si opposero ai massacratori, fino all’estremo sacrificio: antifascisti, militari, gente comune, animata da generoso e incomparabile istinto umanitario.
Un’occasione preziosa di memoria collettiva, questa Giornata, ma anche di ferma assunzione di responsabilità nel presente e per il futuro affinché si rafforzi nel Paese quella coscienza civile necessaria a contrastare ogni manifestazione di razzismo e antisemitismo ancor oggi presenti e diffusi in Italia come nell’Europa intera.
L’Anpi impegna tutta l’Associazione affinché in collaborazione con le Istituzioni, col mondo dell’antifascismo, della Resistenza, della deportazione politica e razziale, delle comunità ebraiche, con le associazioni democratiche e le forze sindacali, la Giornata della Memoria sia un evento effettivamente nazionale.
Decisivo sarà il coinvolgimento del mondo della scuola e dei giovani tutti.
Il futuro ha la loro coscienza e le loro mani e l’impegno nella trasmissione della memoria e dei valori di libertà, giustizia, pace e democrazia deve essere massimo.
E di tutti.”

La Salvezza

Davvero possiamo ancora fingere di non sapere ? E davvero possiamo non sentirci nel profondo dell’animo toccati per ciò che avviene agli emigranti rinchiusi nelle carceri libiche? Gabriele Del Grande sul suo blog, Fortress Europe, ha, ormai da diversi mesi, pubblicato un rapporto, “Fuga da Tripoli”,  in cui accusa la Libia della violazione dei Diritti Umani contro i migranti arrestati sulla rotta per Lampedusa. Anche l’Unione Europea non sarebbe immune da colpe secondo il giornalista toscano : “L’Unione europea si rende complice dei crimini commessi dalle autorità libiche contro i migranti e i rifugiati arrestati sulle rotte per la Sicilia, dal momento che dal 2008 procederà al respingimento collettivo in mare di tutte le imbarcazioni che saranno intercettate da Frontex, mandando migliaia di uomini, donne e bambini a marcire per mesi o per anni nelle carceri libiche, per poi essere rimpatriati anche se rifugiati”.  Secondo tale rapporto sarebbero 1.579 morti nel deserto e 2.483 nel Canale di Sicilia, 83 le testimonianze dirette di torture, stupri e omicidi commessi dalla polizia libicain più di 20 centri di detenzione per migranti, dove sono incarcerate almeno 60000 persone ogni anno, senza alcun processo ed in condizioni a dir poco disumane. Gli immigrati denunciano inoltre deportazioni di massa nel Sahara e rimpatri da Tripoli finanziati anche dall’Italia per ciò che concerne almeno 47 voli. Pubblicate su Fortress Europe vi sono le foto scattate di nascosto nei campi di detenzione di Sebha, Zlitan e Misratah del novembre 2008. Tale testimonianza è ora di pubblico dominio. Noi tutti ora sappiamo e quindi una eventuale indifferenza condannerà per sempre le nostre coscienze.

Ed è per questo che mi indigno per affermazioni a dir poco affrettate : ”Da quando il governo italiano ha adottato la politica dei respingimenti, i clandestini non partono piu’ dai loro paesi e non muoiono piu’ sul fondo del mare, quindi li abbiamo salvati”. Lo ha detto il ministro della Semplificazione, Roberto Calderoli.

Li abbiamo salvati, ha sentenziato il ministro. Almeno mi si conceda di pensare che per salvezza io non intendo, dopo aver speso tutti i miei soldi per scappare dalle guerre e dalla fame, aver viaggiato per mezzo continente africano su carri bestiame, aver messo a repentaglio la mia vita nel Mediterraneo su di una bagnarola ed essere stato respinto, pur avendo avuto diritto secondo la carta dei Diritti Universali dell’Uomo ad asilo politico nei paesi europei. Dicevo esser stato respinto sulle coste libiche, lasciato in balia di poliziotti libici che mi condurranno nelle loro carceri per diversi mesi in cui verrò trattato in condizioni disumane, vedrò le donne delle mie terre violentate e bambini che nasceranno in carcere. Tutto per la colpa manifesta di esser nato nell’africa subsahariana. Mi si conceda, signor Ministro, di non considerarla salvezza questa. E ciò anche senza intendere Salvezza con etimologia cristiana, ma solo umana. Anch’io allora preferirei rischiare di morire in mare. Sono fortemente indignato: i valori trasmessi a noi tutti dai padri fondatori della nostra Costituzione Italiana non sono certo quelli dell’indifferenza verso chi scappa dalla sofferenza. Ed è proprio la Costituzione Italiana che garantisce loro l’accoglienza nel nostro paese sotto forma di asilo politico. Sempre che la Costituzione Italiana valga ancora.

Foto dei campi di detenzione dei migranti in Libia

Sulla prima misura della circonferenza della Terra

Questo articolo vuole essere un omaggio al personaggio che per primo misurò, con estrema accuratezza, la lunghezza della circonferenza terrestre, intesa come meridiano.

Che la Terra fosse sferica era già noto, senza per altro esser supportata da alcuna precisa dimostrazione, ai pitagorici e ad Aristotele che aveva stimato approssimatamente la sua circonferenza a 64000 Km. Inoltre la sua sfericità era già noto agli antichi navigatori che, notavano, rivolgendo gli occhi al cielo, le costellazioni non sorgere mai spostandosi molto a nord e sorgere e tramontare spostandosi molto a sud. Dalle informazioni giunte fino a noi dall’epoca classica, le prime stime approssimate sulla lunghezza di un meridiano terrestre si ebbero con Eudosso di Cnido e Dicearco da Messina. Ma il primo personaggio che diede una misura accurata del meridiano terrestre fù appunto Eratostene di Cirene. Egli passò alla storia con l’appellativo di geografo proprio perchè fu il primo a usare tale sostantivo per indicare la descrizione della Terra. Egli fù anche un grande matematico: sua è l’invenzione del crivello di Eratostene, un metodo per individuare i numeri primi e del mesolabio, uno strumento meccanico con il quale si possono calcolare due medi proporzionali da inserire tra due segmenti assegnati, o, equivalentemente, estrarre una radice cubica. Inoltre fu astronomo (sua è la prima misura precisa dell’inclinazione dell’eclittica) e un grande poeta. Ma fra i vari titoli non vi troverete quello di fisico.

Secondo me, Eratostene di Cirene, fu un grande fisico. Questa affermazione scaturisce dall’analisi del medoto da lui utilizzato per misurare un parametro fisico della terra, la lunghezza della sua circonferenza appunto. Prima di tutto egli fece un esperimento intellettuale, cioè ha costruito un modello, approssimando la terra ad una sfera. Ed il lavoro del fisico è in prima analisi proprio quello di costruire modelli che rendono comprensibile aspetti della realtà. In secondo luogo egli adottò un metodo basato sull’osservazione di un fenomeno ripetibile, il fatto che l’ombra di uno gnomone fosse, in presenza determinate circostanze esterne, sempre identica. E questa può essere proprio assunta come ipotesi ripetibile, la base del metodo scientifico introdotto da Galilei e che ha permesso lo sviluppo della scienza e della società moderna. In terzo luogo ha effettuato misure molto precise, intanto assumendo che Siene ed Alessandria d’Egitto fossero sullo stesso meridiano, poi misurando accuratamente la distanza fra queste due città. E proprio nella precisione e nella più generale estrema attenzione per la misura sta un concetto fondamentale della fisica. Tutte queste valutazioni permettono di affermare che Eratostene di Cirene fù anche un fisico.

Ora andiamo ad analizzare in metodo da lui utilizzato per calcolare la lunghezza di un meridiano terrestre. A quel tempo Eratostene era bibliotecario del grande museo alessandrino e doveva, di conseguenza, aver avuto la possibilità di consultare diversi testi sulla posizione delle città d’Egitto ed anche aver dibattuto con diversi studiosi che avevano viaggiato nella loro vita. Quidi, presumibilmente servendosi di queste conoscienze, assunse che Siene ed Alessandria si trovasseso sul medesimo meridiano. Scelse come giorno delle sue misure il 21 giugno, il solstizio d’estate. Notò che a Siene lo gnomone non produceva ombra, mentre ad Alessandria veniva misurata un’ombra tale da indicare la posizione del Sole in 7° e 15′ a sud dello zenit. Ciò stava ad indicare che le posizioni di Siene ed Alessandria sul meridiano differivano appunto di 7° e 15′. Poichè la distanza fra le due città fù misurata in 5000 stadi, Eratostene moltiplicò tale misura per 360° e divise il risultato per la misura angolare ottenuta di 7° e 15′, ottenendo la misura del meridiano terrestre in 252.000 stadi, cioè circa 39700 km, notevolmente vicino alla misura odierna fatta con tecnologia GPS e più in generale di geodesia spaziale.

In realtà il metodo di Eratostene era più complesso, come testimoniato dallo stesso Cleomede, il cui scopo dichiarato era quello di esporre una versione semplificata rispetto a quella contenuta nell’opera di Eratostene, che sembrava si basasse, come dice Lucio Russo in “La rivoluzione dimenticata”, su di una campagna di misurazioni avvenuta per mezzo dei mensores regii, funzionari regi incaricati di effettuare misure capillari del territorio egiziano per fini fiscali.Inoltre, il risultato trovato di 252ooo stadi, sembrerebbe ad occhio attento, un numero particolare, divisibile per tutti i numeri interi da 1 a 10: sempre secondo Russo, basata su di una affermazione di Plinio che parla dello stadio “secondo il rapporto di Eratostene”, Eratostene avrebbe introdotto un nuovo stadio come sottomultiplo del meridiano.

Il fatto che tale misurazione sia in realtà abbastanza vicina al valore reale che conosciamo oggi è probabilmente il frutto di diversi errori sommati insieme i cui principali sono il fatto che Siene ed Alessandria non sono in realtà sullo stesso meridiano e l’errore sulla misura dell’angolo. Ma ciò non scalfisce minimamente l’onorabilità del procedimento utilizzato da Eratostene di Cirene per ricavare un risultato fondamentale per lo sviluppo della civiltà umana. La memoria di Eratostene di Cirene, geografo, matematico, poeta, filologo, astronomo resterà sempre viva fra gli uomini per la prima misurazione della circonferenza terrestre e quindi, delle dimensioni della terra. Perciò egli apparirà sempre come, prima di tutto, un fisico.

La barzelletta

Il 17 gennaio il nostro Presidente del Consiglio dei Ministri, Silvio Berlusconi, durante un convegno preelettorale a Nuoro ha raccontato una “barzelletta” alle persone accorse al suo comizio. “La sapete quella del campo di concentramento?”, ha chiesto. e subito, incalzante: “Un kapò dice: ‘Per foi ho una buona notizia e una meno buona. Metà di foi saranno trasferiti in un altro campo’. A questo punto tutti gridano evviva e chiedono quale sia la notizia cattiva. ‘Qvella meno puona è che la parte di foi che sarà traferita è qvella ke va da qui in giù’, e nel dire questo segna dalla cintola in giù”.

Questa “barzelletta”, ritengo, il Presidente del Consiglio poteva anche risparmiarsela, anzi doveva. Ma  non è nuovo di certo a queste simpatiche burle. Nel luglio del 2003, nella sede dell’Europarlamento, parlando dell’europarlamentare tedesco Martin Schulz (Spd), lo definì perfetto per il ruolo di kapò in un film sui lager nazisti.

Mia nonna se n’è andata pochi mesi fa ma tengo ancora, nella mia mente, ben impressi i suoi occhi quando parlava di suo fratello fucilato a 30 anni per aver salvato la vita a due paracadutisti inglesi da SS. Penso che tale “barzelletta” non le avrebbe fatto molto ridere, così come non ha divertito molto la Fondazione Memoria della Deportazione. Lascio a loro il commento di tale affermazione perchè hanno provato direttamente sulla loro persona tale “barzelletta”.

Noi, che i campi di concentramento li abbiamo conosciuti bene, vorremmo sommessamente dire al presidente del consiglio che le sue barzellette concentrazionarie non fanno ridere: fanno pena. E non fanno onore né a lui né al suo governo, tanto più alla vigilia del Giorno della memoria.

L’eleganza dell’anisocronismo del pendolo

La teoria dell’isocronismo del pendolo fu introdotta per la prima volta da Galileo Galilei nel 1592. Partiamo dall’etimologia del termine isocrono. Essa deriva dal greco isos  (uguale) e khronos (tempo). Isocronismo significa, quindi, uguale nel tempo e cioè a tempo costante. Inoltre c’è da precisare il fatto che il pendolo al quale si riferiva Galilei nella sua trattazione era quello semplice, detto anche matematico, consistente cioè in un sistema ideale costituito da una particella appesa ad un filo sottile inestensibile di massa trascurabile fissato ad un supporto. Tale pendolo, se spostato dalla sua posizione di equilibrio, oscilla in un piano verticale sotto l’azione del campo gravitazionale. Si trascurano inoltre tutti i possibili attriti. Galilei analizzò tale sistema per piccole oscillazioni, cioè per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio. 

Proviamo ora ad analizzare le forze agenti sulla massa appesa al filo. Osservando la figura si vede che tali forze agenti sono il peso  della massa e la tensione  del filo. Visto che il moto del pendolo avviene su di un piano, scegliamo una coppia di assi ortogonali, uno diretto lungo la tangente al cerchio, l’altro lungo il suo raggio. La componente lungo il raggio del peso della massa  è bilanciata dalla tensione del filo . Per quanto concerne la componente tangenziale  (F è opposta alla direzione degli angoli  crescenti). Ora si utilizza l’ipotesi di piccoli angoli  per cui:

ottenendo quindi:

dove L è la lunghezza del filo e . Per piccoli spostamenti la forza di richiamo è quindi proporzionale ed opposta allo spostamento. Questa condizione è proprio quella del moto armonico semplice  con  e quindi si ottiene un periodo di oscillazione:

Così si dimostra utilizzando solo il secondo principio della dinamica l’isocronismo del pendolo per piccoli angoli, cosa che Galilei per primo misurò nella lucerna della cattedrale di Pisa vedendo il lampadario che oscillava dopo un intervento di spegnimento delle candele. Misurò il periodo utilizzando il battito del polso. Nella Cappella Aulla del Camposanto Monumentale si può oggi osservare la lampada votiva che era sospesa nella Cattedrale al tempo di Galileo. 

 

Lev Davidovic Landau

La dimostrazione dell’isocronismo del pendolo può essere effettuata secondo diversi procedimenti. A mio parere il più elegante e chiaro sta nel primo volume di Fisica teorica del grande scienziato Lev Davidovic Landau. Per seguire la sua dimostrazione dobbiamo prima definire le coordinate generalizzate come n grandezze qualsiasi () che caratterizzano completamente la posizione di un sistema con n gradi di libertà e una funzione detta lagrangiana che è un funzionale delle coordiante generalizzate, delle derivate rispetto al tempo delle coordinate generalizzate e del tempo stesso. Tale funzionale descrive completamente le equazioni del moto del sistema tramite il principio di Hamilton:

 

dove S definisce l’azione del sistema ed ha le dimensioni di un’energia per un tempo. Proprio grazie al principio di Hamilton si dimostra una splendida connessione fra la matematica e l’Universo nota come teorema di Noether che stabilisce che per ogni simmetria continua in un problema di fisica corrisponde una legge di conservazione. Tralasciando tali importantissime conseguenze occupiamoci ora, visto che abbiamo introdotto tutti gli stumenti matematici che ci serviranno, della dimostrazione fatta dal fisico russo. Per prima cosa definiamo come unidimensionale il moto del pendolo semplice perchè rappresenta un sistema con un solo grado di libertà. Questo diviene evidente se si pensa al fatto che è sufficiente l’angolo  per identificare completamente la posizione del pendolo. La forma più generale della funzione lagrangiana per un tale sistema, soggetto a condizioni esterne costanti (campo gravitazionale  costante), è

dove a(q) è una funzione della coordinata generalizzata q.In particolare se q è una coordinata cartesiana otteniamo:

Tale funzione lagrangiana si vede qui che è “legata” fisicamente al teorema di conservazione dell’energia meccanica per un sistema consevativo come il pendolo semplice. Avrete notato infatti che il secondo membro corrisponde all’energia cinetica del sistema meno l’energia potenziale gravitazionale. Il merito della dimostrazione di Landau sta proprio nel fatto che tramite tale trattazione non serve nemmeno scrivere l’equazione del moto del sistema; è comodo partire direttamente dal loro integrale primo, cioè dall’equazione che esprime la legge di conservazione dell’energia

Questa equazione differenziale del primo ordine si integra per semplice separazione di variabili:

da cui

con U(x)<E.

Considerando nel nostro caso il pendolo semplice utilizziamo come coordinata generalizzata l’angolo  per cui l’energia del sistema diventa:

dove  è l’angolo massimo di scostamento del filo dalla verticale. Essendo il periodo uguale al tempo quadruplicato impiegato per il percorso da 0 a , si ha:

Utilizzando ora le formule di bisezione , otteniamo:

Ponendo poi , tale integrale diventa:

Scritto in altro modo

dove

è un integrale ellittico di prima specie. Essa è la soluzione generale del problema del periodo di oscillazione di un pendolo che, come si vede, è anisocrono perchè dipendente dall’angolo  da cui viene inizialmente lasciato oscillare. Nel caso delle piccole oscillazioni  e quindi lo sviluppo della funzione K(k) ci dà:

Il primo termine di questo sviluppo corrisponde alla formula per il pendolo semplice per piccole oscillazioni trovata precedentemente. In questo caso si ricade quindi nell’isocronismo.

Nei secoli passati il pendolo è stato per l’uomo il migliore cronometro sfuttando il suo isocronismo per piccole oscillazioni. Visto che in realta tali piccole oscillazioni sono sempre difficilmente riproducibili per un orologio a pendolo, lo scarto nel periodo dato da oscillazioni più grandi era compensato da una scelta di un’ampiezza mantenuta costante. Il problema però che si presentava era la presenza di aria nell’orologio e non di vuoto. Ciò si ripercuoteva nell’attrito, una forza dissipativa che, produceva, nel migliore dei casi, una variazione di alcuni secondi sul tempo misurato. Ciò era evidentemente inacettabile per cui nel ‘600 Huygens escogitò un dispositivo per aggiungere energia al pendolo in modo da renderla costante. Tale sistema era costituito da una molla unita al pendolo tramite un dispositivo detto scappamento dell’orologio. Per comprendere quanto fosse importante la discussione in passato sull’isocronismo del pendolo, basti pensare che da esso dipendeva la corretta misurazione del tempo. Per ricordarcelo, le vecchie banconote da 2000 lire rappresentavano da un lato il ritratto di Galileo, dall’altro una lampada appesa nel Duomo di Pisa. Ciò che mi dispiace maggiormente per il passaggio ad una moneta unica europea è che non vedo più tale lampada abbastanza frequentemente.

L’infinito splendore della massa

Ciò che mi accingo a trattare in questo articolo è una caratteristica straordinaria dell’universo in cui viviamo che denominiamo massa. La massa è una grandezza fisica fondamentale definita all’interno della saldissima costruzione della meccanica classica come la misura dell’inerzia generata dai corpi al cambiamento del proprio stato di moto. Ma tale definizione è quella di una caratteristica massa identificata meglio dal termine massa inerziale. Questa massa è quella che compare in tutte le equazioni dinamiche di qualsivoglia argomento di fisica teorica. Per la sua definizione formale solitamente si usa il secondo principio di Newton  , dove con il termine  si è indicato la grandezza scalare massa inerziale. Tale grandezza così definita ci indica quantitativamente l’attitudine di un corpo a resistere ai suoi cambiamenti di velocità. Quindi, per la sua definizione, è prima necessario introdurre il concetto classico di forza. Ma vi è un’altra definizionedi massa inerziale attribuibile ad Ernst Mach in cui non bisogna fare ricorso al concetto di forza. Questa definizione viene data in un sistema isolato formato da due corpi puntiformi interagenti tra loro, sfrutta per la sua esposizione il terzo principio di Newton (detto comunemente di azione-reazione) e si può riassumere in , dove si è indicato con il pedice 1 le grandezze relative al corpo 1 e con il pedice 2 quelle relative al corpo 2.

Consideriamo ora invece la legge di gravitazione universale introdotta nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687 da Newton:

.

Tale legge, interpretata nella accezzione moderna della teoria dei campi, viene più correttamente espressa come:

 

in cui abbiamo definito con  il campo gravitazionale, con il pedice 1 abbiamo definito la massa gravitazionale attiva che è proporzionale all’intensità del campo gravitazionale da esso generata e con il pedice 2 abbiamo indicato la massa gravitazionale passiva che è proporzionale all’interazione di ciascun corpo con il campo gravitazionale. Questa puntualizzazione viene trascurata nell’accezione del pensiero comune poichè il terzo principio di Newton dimostra che le due masse gravitazionali sono equivalenti e cioè compaiono sempre associate in un prodotto in ogni legge dinamica. Ma questa interpretazione della massa gravitazionale come carica del campo gravitazionale  (contemporaneamente genera e subisce gli effetti del campo gravitazionale) è assolutamente fondamentale per gli scopi sbalorditivi che andremo ora ad analizzare. Questa interpretazione è quella classica del campo gravitazionale definito come un campo vettoriale. Per i nostri scopi tralasceremo la sua interpretazione alla luce della relatività generale dove sarebbe più corretto definirlo invece come la deformazione dello spazio-tempo creata dalla presenza di corpi dotati di massa o di energia. Esso è rappresentato matematicamente dal tensore di Riemann legato attraverso la geometria differenziale ad un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà, detto tensore metrico.

Effettuatata tale rigorosa precisazione, prendiamo ora la seconda legge di Newton in cui compare la massa inerziale: 

 

e l’equazione già scritta in precedenza che interessa il campo gravitazionale:

dove, con l’apice g si indica l’attributo di gravitazionale.

Eguagliando le due espressioni otteniamo:

 

e cioè:

 .

Questa equazione ci mostra la dipendenza funzionale della massa inerziale da quella gravitazionale. 

Ora è possibile effettuare diversi esperimenti con il campo gravitazionale  costante (nello stesso luogo) verificando che l’accellerazione  non dipende dal corpo al quale si applica la forza di gravità, ma resta costante. Il primo che effettuò un tale esperimento fu Galileo Galilei tramite il piano inclinato. Lo stesso risultato fu trovato con più precisione prima da Newton con il pendolo e poi da Eötvös tramite la bilancia a torsione di Cavendish. Quindi 

 

con K=costante. Ma dagli esperimenti effettuati si verifica una straordinaria proprietà: il campo gravitazionale è equivalente all’accellerazione di gravità considerata  e quindi   viene definito anche come accellerazione di gravità. Questa evidenza sperimentale porta a determinare il valore di K=1. Ciò significa che 

 

e cioè lo straordinario risultato dell’equivalenza fra massa inerziale e massa gravitazionale.

Questa equivalenza implica la scomparsa della massa stessa dalle equazioni del moto e portò Einstein a formulare la teoria della relatività generale basata sul concetto che la traiettoria di un corpo pesante ha natura geometrica ed è assegnata individuando una legge che specifica una curva in funzione del tempo per ogni punto e per ogni velocità iniziale. La cosa più sbalorditiva è che la carica del campo gravitazionale è l’unica delle quattro interazioni fondamentali a presentare tale proprietà. E le leggi della dinamica, sia quelle che interessano il moto degli astri, sia quelle che interessano la nostra vita quotidiana sulla Terra, sarebbero totalmente diverse senza questa proprietà che, e qui sta proprio la sua portata straordinaria, non può essere il risultato di alcuna dimostrazione, ma esiste in quanto il nostro universo ha scelto, chissà quanto consapevolmente, di regalarcela tale.